Question

設動點到定點的距離比它到軸的距離大1，記點的軌跡為曲線.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長是否為定值？為什么？

Answer 1

（1）曲線方程是

（2）當運動時，弦長為定值4

解析:

（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲線方程是………4分

（2）設圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　　……………………………7分

令得：　　

設圓與軸的兩交點分別為，

方法1：不妨設，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵點在拋物線上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵點在拋物線上，∴， ∴　　

∴當運動時，弦長為定值4〕