Question

已知定義在R的函數f（x）對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調性和奇偶性，并說明理由；
（2）若不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0對一切θ∈[0，

π

2

]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷函數的單調性，首先要結合定義域和所給區間任設兩個變量并保證大小關系，然后通過f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可獲得相應變量對應函數值的大小關系，結合函數單調性的定義即可獲得問題的解答；賦值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．
（2）此題考查的是函數與方程的綜合應用類問題．在解答時，先結合存在性問題的特點先假設存在m符合題意，然后將問題轉化為恒成立的問題結合二次函數的特點即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數
在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，由題意知f（x₁-x₂）＜0
則f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0
故f（x）是增函數
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
只須f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)
又由f（x）為單調增函數有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m
令t=sinθ+cosθ，則sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]
原命題等價于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0對t∈[1，

2

]恒成立∴(2-t)m＞2t-t2+

4

t

-2，即m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

令g(t)=t+

2

t

，g′(t)=1-

2

t2

，在t∈[1，

2

]時g′（t）＜0，故g（t）在[1，

2

]上為減函數，∴m＞3時，原命題成立．
法2：由t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0對t∈[1，

2

]恒成立
有（t²-mt+2）（t-2）＞0，∵t-2＜0，故t²-mt+2＜0在t∈[1，

2

]恒成立
只需

12-m+2＜0 ( 2 )2- 2 m+2＜0

⇒m＞3

點評：本題以抽象函數滿足的性質為載體，考查函數的單調性證明問題．抽象函數的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于中檔題，在解答的過程當中充分體現了函數單調性的定義、作差法以及賦值法等知識．值得同學們體會和反思．