Question

數列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2時，an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．數列{b_n}滿足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）證明：{b_n}為等差數列，并求{b_n}的通項公式；
（2）記數列{

an+1

n

}的前n項和為S_n，若不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立（m，n為正整數）．求出所有符合條件的有序實數對（m，n）．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的定義只需證明n≥2時，b_n-b_n-1是常數，利用等差數列的通項公式可求得b_n；
（2）由bn=3n-1(an+1)=2n，可得

an+1

n

，從而可求S_n，再由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

可得m值，進而可求得n值；

解答：解：（1）n≥2時，bn-bn-1=3n-1(an+1)-3n-2(an-1+1)，
代入an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

，
整理得bn-bn-1=3n-1(

1

3

an-1+

2

3n-1

+

1

3

)-3n-2(an-1+1)=2，
故{b_n}是公差為2的等差數列．
又b₁=a₁+1=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n；   
（2）由（Ⅰ）得，bn=3n-1(an+1)=2n，
故

an+1

n

=

2

3n-1

，可知{

an+1

n

}為等比數列，
∴Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3(1-

1

3n

)，
則

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，
得

2

(3-m)3n-1

＞

1

3m+1

，
∵（3-m）3ⁿ-1＞0，m∈N^*∴m=1，2，
當m=1時，

2

2•3n-1

＞

1

4

⇒n=1；
當m=2時，

2

3n-1

＞

1

10

⇒n=1，2，
綜上，存在符合條件的所有有序實數對（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2）．

點評：本題考查由遞推式求數列通項、等差關系的確定、數列與不等式的綜合，考查學生分析問題解決問題的能力．