Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，，，F分別為AB，PC的中點.

（I）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求PA的長；

（II）求證：PE⊥BC；

（III）求PC與平面PAD所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）PA=2；

（2）見解析.

（3）.

【解析】分析：（I）設，由四棱錐體積，利用棱錐的體積公式列出關于的方程求解即可；（II）由線面垂直的性質可得，結合已知條件，利用線面垂直的判定定理可得平面，進而可得結果；（III）先證明么平面可得為與平面所成角，在直角三角形中，.

詳解：

（I）設PA=，由題意知

解得，所以PA=2

（II）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD

所以

又∠ABC =90°

所以

因為平面PAB, 平面PAB,

所以平面PAB

又平面PAB

所以PE⊥BC

（III）取AD的中點G，連結CG，PG

因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，

又，則AB⊥平面PAD，

由題意知BC∥AG，BC=AG，所以四邊形ABCG為平行四邊形

所以CG∥AB，那么CG⊥平面PAD

所以為PC與平面PAD所成角 設PA=，則CG=，PG=，在直角三角形中，

所以PC與平面PAD所成角的正切值為 .