Question

（本小題滿分l2分）

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為、，直線：交軸于點(diǎn)，且．

（1）試求橢圓的方程；

（2）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于、、、四點(diǎn)（如圖所示），試求四邊形面積的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓方程為

（2）．故四邊形面積的最大值為4，最小值為

【解析】解：（1）由題意，

  為的中點(diǎn)　　　　

 

即：橢圓方程為…………………(５分)

（2）方法一：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，四邊形的面積．同理當(dāng)與軸垂直時(shí)，也有四邊形的面積． 當(dāng)直線，均與軸不垂直時(shí)，設(shè):，代入消去得： 設(shè)所以，， 所以，，同理所以四邊形的面積

令因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052408245767189502/SYS201205240826253906613889_DA.files/image031.png">當(dāng)，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以．

綜上可知，．故四邊形面積的最大值為4，最小值為．…（12分）

方法二：用直線的參數(shù)方程中的幾何意義．