Question

【題目】已知拋物線：，其焦點到準線的距離為2.直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線與，與交于點.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）根據焦點到準線的距離為，即可得到拋物線的方程；

（2）利用導數求出拋物線的兩條切線方程，再利用直線垂直，得到斜率相乘為，從而求得直線方程為，再利用弦長公式和點到直線的距離公式，即可得答案；

（1）由題意知，拋物線焦點為：，準線方程為，

焦點到準線的距離為2，即，

所以拋物線的方程為.

（2）拋物線的方程為，即，所以.

設，，

：，：.

由于，所以，即.

設直線方程為，與拋物線方程聯立，得，所以.

，，，所以，即：.

聯立方程，得，即.

點到直線的距離.

，

所以.

當時，面積取得最小值4.