Question

【題目】已知函數f（x）=x3+bx2+cx的極值點為x=﹣ 和x=1
（1）求b，c的值與f（x）的單調區間
（2）當x∈[﹣1，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+bx2+cx，

∴f'（x）=3x2+2bx+c，

∵f（x）的極值點為x=﹣ 和x=1

∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（- ）= ﹣ b+c=0，

解得，b= ，c=﹣2，

∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），

當f'（x）＞0時，解得x＜﹣ ，或x＞1，

當f'（x）＜0時，解得﹣ ＜x＜1，

故函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），單調減區間為（﹣ ，1）

（2）解：有（1）知f（x）=x3﹣ x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，

故函數在[﹣1，﹣ ）和（1，2]單調遞增增，在（﹣ ，1）單調遞減，

當x=﹣ ，函數有極大值，f（- ）= ，f（2）=2，

所以函數的最大值為2，

所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]時恒成立，

故m＞2

故實數m的取值范圍為（2，+∞）

【解析】（1）對函數進行求導，令f'（1）=0，f'（- ）=0可求出b，c的值，再利用導數求出函數單調區間即可．（2）根據函數的單調性求出f（x）在[﹣1，2]上的最大值，繼而求出m的范圍
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．