Question

【題目】已知函數是單調遞增函數，其反函數是．

（1）若，求并寫出定義域；

（2）對于⑴的和，設任意，，，求證：；

（3）已知函數和的圖象有交點，求證：它們的交點一定在直線上．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）根據反函數的求解過程，即可求得，再求原函數值域，即為反函數的定義域；

（2）根據（1）中所求，用分析法將不等式進行不斷轉換，即可證明；

（3）根據互為反函數的兩個函數的特點，以及函數單調性，即可證明.

（1）因為，故可得，又因為

故，故；

又因為在時，單調遞增，故其值域為

故的定義域為；

綜上所述：，.

（2）由（1）可知，

要證

即證

也就是證

因為，故，則，同理可得

故成立，

則原不等式成立，即證.

（3）證明：設是函數與的交點，

故可得

故可得

即過點和

又因為是單調第增函數，

故當時，，即，這與題設矛盾；

當時，，即，這也與題設矛盾；

當時，，即，滿足題意.

綜上所述，若與有交點，則交點一定在直線上，即證.