Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)基本不等式得出函數(shù)f（x）有最小值，由此判斷f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，（0，+∞）是增函數(shù)；再用定義證明即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)；
證明如下：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）
=（2x1-2x2）+（2-x1-2-x2）
=（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，

1

2x1•2x2

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
同理，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．