Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，為的中點，平面，.

(1)求證：平面平面；

(2)若，，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

(1)通過證明平面與平面都和直線垂直可得；

(2) 以為原點為軸，為軸，過與垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角得二面角（要判斷二面角的范圍）．

(1)證明：∵四邊形是菱形，，是等邊三角形，又為的中點，∴，而，所以，

又，，∴面ADE.

又平面，平面，所以，又，所以平面，所以平面平面

(2)由(1)平面平面，，則到的距離為1，所以到平面距離是1，以為原點為軸，為軸，過與垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，， ，，，

設(shè)平面的一個法向量是，

則，取，則，，即，

同理可得面的一個法向量

，二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．