Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是平行四邊形，平面平面，為正三角形，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）分別取，的中點連結，，，先證，再證平面，然后可得平面，又平面，可證平面平面；

（2）先建立空間直角坐標系，然后分別求出平面的法向量為和平面的法向量為，然后代入公式計算即可.

（1）如圖，分別取，的中點連結，，，

可得，，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，

又平面，平面，

∴平面，

又平面，

且平面平面，∴，

∵，∴，，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

又為正三角形，

∴，，

在中，，，

滿足，∴，即，

∴，又，，

∴平面，∴平面，

∵平面，∴，

又，∴平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面；

（2）由（1）得建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意得，，，，， ，

設平面的法向量為，

，令，則，，

∴，

又，，

設平面的法向量為，

，解得，令，則，

∴，

∴，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.