Question

（本小題滿分10分）已知是曲線：的兩條切線，其中是切點(diǎn)，
（I）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（II）若直線過曲線的焦點(diǎn)，求面積的最小值；

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）面積的最小值為 。

(I)設(shè)、,,再利用導(dǎo)數(shù)求出切線MA、MB的方程.然后兩方程聯(lián)立解出交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為即可.
(II) 焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），顯然直線的斜率是存在的；
設(shè)直線的方程為它與拋物線方程聯(lián)立,消y后得關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)弦長公式得和點(diǎn)到直線的距離公式得到面積S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,然后再利用函數(shù)求最值的方法求最值.
（1）證明：，設(shè)、；
直線的方程為 ①   直線的方程為  ②
①-②得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以 點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；…4分
（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），顯然直線的斜率是存在的；
設(shè)直線的方程為
將直線的方程代入得：  （恒成立）
，且   又由①②得：
，從而點(diǎn)到直線的距離，     …8分
      當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
故面積的最小值為                 …10分