Question

【題目】如圖，設拋物線與的公共點的橫坐標為，過且與相切的直線交于另一點，過且與相切的直線交于另一點，記為的面積.

（Ⅰ）求的值（用表示）；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

注：若直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將的橫坐標為代入拋物線解析式可得,再代入拋物線解析式,化簡即可用表示的值.

（Ⅱ）設出點的坐標,結合M的坐標即可表示出直線的方程.聯立拋物線,根據相切時判別式可得,表示出直線的方程.利用兩點式表示出直線的斜率,即可用表示出點的坐標.同理可求得點的坐標.進而利用兩點間距離公式表示出,利用點到直線距離公式求得到直線的距離,即可表示出的面積.結合的取值范圍,即可求得的取值范圍.

（Ⅰ）因點在拋物線:上,故

又點在拋物線：上,故,

則

（Ⅱ）設點,直線的方程為

聯立方程組消去,得

則

因此

即直線的方程為

則直線的斜率

從而,即

同理,直線的方程為,點

因此

點到直線：的距離

故的面積

即

因為

即

解得.