Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓E的短軸的端點到焦點的距離等于2．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）己知A，B分別為橢圓E的左、右頂點，過x軸上一點P（異于原點）作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓E相交于C，D兩點，且直線AC與BD相交于點Q．①若k＝1，求線段CD中點橫坐標的取值范圍；②判斷是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②為定值，理由見解析

【解析】

（1）根據離心率和短軸的端點到焦點的距離列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓的標準方程.

（2）①當時，設直線的方程為，聯立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列不等式求得的取值范圍.利用韋達定理以及中點坐標公式求得中點的橫坐標，根據的取值范圍，求得中點的橫坐標的取值范圍.

②將兩點的坐標并代入橢圓方程進行化簡.設直線的方程為，求得點的坐標，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理.利用直線和直線的方程進行化簡，求得點的橫坐標，由此求得

（1）由于橢圓離心率為，且橢圓E的短軸的端點到焦點的距離等于2，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.

（2）①當時，設直線的方程為，，中點坐標為，由，得.所以.由，解得.故中點橫坐標為，當時，即的中點為原點時，與重合，不滿足條件.所以線段中點橫坐標的取值范圍是.

②為定值，理由如下：因為分別為橢圓的左右頂點，所以，因為在橢圓上，所以，所以，所以.

設直線的方程為，則.由得，所以，，也是要，又直線與直線的方程分別為與，兩方程相除得，解得，所以為定值.