Question

（2012•天津）設(shè)m，n∈R，若直線l：mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x²+y²=4相交所得弦的長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線l被圓截得的弦長與半徑，根據(jù)垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離，兩者相等列出關(guān)系式，整理后求出m²+n²的值，再由直線l與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，由直線l的解析式分別令x=0及y=0，得出A的橫坐標(biāo)及B的縱坐標(biāo)，確定出A和B的坐標(biāo)，得出OA及OB的長，根據(jù)三角形AOB為直角三角形，表示出三角形AOB的面積，利用基本不等式變形后，將m²+n²的值代入，即可求出三角形AOB面積的最小值．

解答：解：由圓x²+y²=4的方程，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
∵直線l與圓x²+y²=4相交所得弦CD=2，
∴圓心到直線l的距離d=

r2-( CD 2 )2

=

3

，
∴圓心到直線l：mx+ny-1=0的距離d=

1

m2+n2

=

3

，
整理得：m²+n²=

1

3

，
令直線l解析式中y=0，解得：x=

1

m

，
∴A（

1

m

，0），即OA=

1

|m|

，
令x=0，解得：y=

1

n

，
∴B（0，

1

n

），即OB=

1

|n|

，
∵m²+n²≥2|mn|，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=|n|時取等號，
∴|mn|≤

m2+n2

2

，
又△AOB為直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

OA•OB=

1

2|mn|

≥

1

m2+n2

=3，
則△AOB面積的最小值為3．
故答案為：3

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，直線的一般式方程，以及基本不等式的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理倆來解決問題．