Question

【題目】若，不等式恒成立，則正實數的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可得（eλx ）min≥0，設f（x）＝eλx，x＞0，求出導數和單調區間、極小值點m和最小值點，可令最小值為0，解方程可得m，λ，進而得到所求最小值．

實數λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，

即為（eλx ）min≥0，

設f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，

令f′（x）＝0，可得eλx，

由指數函數和反比例函數在第一象限的圖象，

可得y＝eλx和y有且只有一個交點，

設為（m，n），當x＞m時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有f（x）在x＝m處取得極小值，且為最小值．

即有eλm，令eλm0，

可得m＝e，λ．

則當λ時，不等式eλx0恒成立．

故答案為.