Question

若x∈[0，+∞），則下列不等式恒成立的是（　　）

A．ex≤1+x+x2	B． 1 1+x ≤1- 1 2 x+ 1 4 x2
C．cosx≥1- 1 2 x2	D．ln(1+x)≥x- 1 8 x2

Answer 1

對于A，取x=3，e³＞1+3+3²，所以不等式不恒成立；
對于B，x=1時，左邊=

2

2

，右邊=0.75，不等式成立；x=

1

2

時，左邊=

6

3

，右邊=

13

16

，左邊大于右邊，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
對于C，構造函數h(x)=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上單調增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函數h(x)=cosx-1+

1

2

x2在[0，+∞）上單調增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-

1

2

x2；
對于D，取x=3，ln(1+3)＜3-

9

8

，所以不等式不恒成立；
故選C．