Question

已知點M是圓C：上的一點，且軸，為垂足，點滿足,記動點的軌跡為曲線E．

（Ⅰ）求曲線E的方程；

（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求面積S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設N（x,y）,M（），則由已知得，，，                     2分

代入得，．                                                        4分

所以曲線E的方程為.                                                           5分

(Ⅱ)方法一：

因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，

則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.                                                          7分

設，，又,

所以，，                                                9分

因為,

所以，即，

所以，即，

因為，所以．　　                                                      12分

又點到直線的距離，

因為，

所以　                                            14分

所以，即的最大值為．                                                   15分

(Ⅱ)方法二：

因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，

則弦不能與垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.

設，，，，又，

所以，.                                                9分

因為，所以.

因為，

所以，

所以，                                                                  12分

又點到直線的距離，所以.

所以.     

設，則，                                              14分

所以，即的最大值為．                                                 15分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系的判斷和應用，弦長公式，三角形面積公式以及二次函數求最值等問題.

點評：直線與圓錐曲線的位置關系問題每年高考都會出現在壓軸題的位置上，難度一般較大，關鍵是運算量大，所以在解決此類問題時，要注意設而不求、轉化、數形結合等思想方法的綜合應用.