Question

16、已知曲線 y=x³+x-3 在點 P₀處的切線l₁ 平行直線4x-y-1=0，且點 P₀在第三象限．
（1）求P₀的坐標；
（2）若直線y=4x+a與曲線y=x³+x-3有兩個不同的交點，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據曲線方程求出導函數，因為已知直線4x-y-1=0的斜率為4，根據切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導函數等于4得到關于x的方程，求出方程的解，即為切點P0的橫坐標，代入曲線方程即可求出切點的縱坐標，又因為切點在第3象限，進而寫出滿足題意的切點的坐標；
（2）原題可轉化為方程4x+a=x³+x-2有兩個不相等的實數根，即方程x³-3x-2=a有兩個不相等的實數根，易得函數f（x）=x³-3x-2的極小值是f（1）=-4，極大值是f（-1）=0，從而求得實數a的值即可．

解答：解：（1）由 y=x³+x-3，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
當x=1時，y=0；
當x=-1時，y=-4．
又∵點P₀在第三象限，
∴切點P0的坐標為（-1，-4）；
（2）原題可轉化為方程4x+a=x³+x-2有兩個不相等的實數根，
即方程x³-3x-2=a有兩個不相等的實數根，
易得函數f（x）=x³-3x-2的極小值是f（1）=-4，極大值是f（-1）=0，
從而可知a=0或a=-4．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握函數的零點與方程根的關系，是一道中檔題．