Question

（1）是否存在實數a．使f（x）=loga(ax-

x

)在區間[2，4]上是增函數．若存在求出a
（2）已知函數f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定義域恰為區間（0，+∞），是否存在這樣的a、b使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．若存在．求出a、b值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用t=

x

換元后，先判斷ax-

x

=at2-t在[1，2]上的單調性再依據復合函數的單調性求解參數的不等式．
（2）由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x為增函數，又由定義域，可求值域，再由f（x）恰在（1，+∞）上取正值可確定f（x）的值從而求a、b

解答：解：（1）存在＞1時f（x）=loga(ax-

x

)在區間[2，4]上是增函數證明如下：
令t=

x

則函數變為g（t）=log_a（at²-t），又原函數在[2，4]上是增函數，故g（t）=log_a（at²-t）在[

2

，2]上是增函數．
對于內層函數at²-t其對稱軸為

1

2a

由復合函數的單調性判斷規則知，
當a＞1時，內層函數at²-t也是增函數，故

1

2a

≤

2

，即得a≥

2

4

，又a×2-

2

＞0，a＞

2

2

，綜合得，a＞1時函數為增函數．
當0＜a＜1時，內層函數at²-t也是減函數，故

1

2a

≥2，得a≤

1

4

，又a×4-2＞0，得a＞

1

2

此種情況下無解
綜上，當a＞1時f（x）=loga(ax-

x

)在區間[2，4]上是增函數
（2）存在a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．證明如下：
已知函數f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定義域恰為區間（0，+∞）
由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x為增函數，
又定義域恰為區間（0，+∞）故可得1-k=0，k=1
欲使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．
則只須a-b=1，a³-b³=4二者聯立解得a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

點評：考查存在性問題的轉化，第一小題中轉化成了不等式求參數的范圍，第二小題中轉化成了方程求出參數的值，這是由二者在表述上的不同所造成的，請讀者仔細體會這其中的奧妙．