Question

已知集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，集合B={x|x²-x-2=0}，集合C={x|x²+2x-8=0}
（1）是否存在實數a，使A∩B=A∪B？若存在，試求a的值，若不存在，說明理由；
（2）若A∩B≠?，A∩C=∅，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用條件A∩B=A∪B，得A=B，然后根據集合相等確定a的值，
（2）根據A∩B≠?，A∩C=∅，即可求a的值．

解答：解：（1）若A∩B=A∪B，則A=B，
∵B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
∴A={-1，2}，
即-1和2是方程x²-2ax+4a²-3=0的兩個根，
∴

-1+2=2a -1×2=4a2-3

，
∴a=

1

2

．滿足△＞0，∴a存在．
（2）若A∩B≠?，A∩C=∅，則可知集合A中無-4，2．至少有一個元素-1．
當A={-1}時，

△=0 (-1)2-2a(-1)+4a2-3=0

∴a=-1
當A={-1，x}，x≠2時，

△＞0 (-1)2-2a(-1)+4a2-3=0

∴a無解．

點評：本題主要考查了集合的基本運算，以及集合關系的應用，考查學生的運算和推理能力．