Question

【題目】某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結果．設小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數字的一種排列．定義隨機變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度．

（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解．

（ⅰ）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

（ⅱ）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；

（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足X＜4，請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表見解析；（2）理由見解析

【解析】

（1）（i）若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有種等可能結果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率．
（ii）根據（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列．
（2）假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三輪游戲結果都滿足“X＜4”的概率為，這個結果發生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習慣比較了解．

（1）（i）若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，

則家長對小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序為xA，xB，xC，xD為1234的情況，家長的排序有＝24種等可能結果，

其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，

∴家長的排序與對應位置的數字完全不同的概率P＝．

基小孩對四種食物的排序是其他情況，

只需將角標A，B，C，D按照小孩的順序調整即可，

假設小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACDB，

再研究yAyByCyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結果是一致的，

∴他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為．

（ii）根據（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，

列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
P

（2）這位家長對小孩的飲食習慣比較了解．

理由如下：

假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，由（1）可知，在一輪游戲中，

P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，

三輪游戲結果都滿足“X＜4”的概率為（）3＝，

這個結果發生的可能性很小，

∴這位家長對小孩飲食習慣比較了解．