Question

如圖，在長方體中，點在線段上.

（Ⅰ）求異面直線與所成的角；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求點到平面的距離.

Answer 1

解析：本題涉及立體幾何線面關系的有關知識, 本題實質上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.

答案：解法一：（Ⅰ）連結。由已知，是正方形，有。

∵平面，∴是在平面內的射影。

根據三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。

作，垂足為，連結，則

所以為二面角的平面角，.

于是

易得，所以，又，所以。

設點到平面的距離為.

∵即，

∴，即，∴.

故點到平面的距離為。

解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.

（Ⅰ）由，得

設，又，則。

∵∴

則異面直線與所成的角為。

（Ⅱ）為面的法向量，設為面的法向量，則

∴.                         ①

由，得，則，即

∴                            ②

由①、②，可取

又，所以點到平面的距離

。