Question

（2012•河西區一模）設函數f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[

1

e

-1，e-1]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數定義域，求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）確定函數在[

1

e

-1，e-1]上的單調性，從而可得函數的最大值，不等式，即可求得實數m的取值范圍；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求導函數，確定函數在區間[0，2]上的單調性，為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實根，從而可建立不等式，由此可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因為f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函數的遞增區間是（-2，-1），（0，+∞），遞減區間是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）=

2x(x+2)

x+1

=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上遞減，在[0，e-1]上遞增．
又f（

1

e

-1）=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，
∴e2-2-

1

e2

-2=

(e2-2)2-5

e2

＞0
∴e²-2＞

1

e2

+2．所以x∈[

1

e

-1，e-1]時，[f（x）]_max=e²-2．故m＞e²-2時，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

-a+1≥0 1-a+1-2ln2＜0 2-a+1-2ln3≥0

，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數與方程思想，屬于中檔題．