Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和拋物線E：y2＝2px（p＞0），圓C與拋物線E的準線交于M、N兩點，△MNF的面積為p，其中F是E的焦點．

（1）求拋物線E的方程；

（2）不過原點O的動直線l交該拋物線于A，B兩點，且滿足OA⊥OB，設點Q為圓C上任意一動點，求當動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x （2）y＝5x﹣20

【解析】

（1）求得圓的圓心和半徑，拋物線的焦點和準線方程，由三角形的面積公式和圓的弦長公式，計算可得，可得拋物線的方程；

（2）不過原點的動直線的方程設為，，聯立拋物線方程，運用韋達定理和兩直線垂直的條件，解方程可得，即有動直線恒過定點，結合圖象可得直線時，到直線的距離最大，求得直線的斜率，可得所求方程．

解：（1）圓的圓心，半徑為1，

拋物線的準線方程為，，，

由的面積為，可得，即，

可得經過圓心，可得．則拋物線的方程為；

（2）不過原點的動直線的方程設為，，

聯立拋物線方程，可得，

設，，，，可得，，

由可得，即，即，解得，

則動直線的方程為，恒過定點，

當直線時，到直線的距離最大，

由，可得到直線的距離的最大值為，

此時直線的斜率為，

直線的斜率為5，可得直線的方程為．