Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）當曲線在點處的切線與直線垂直時，求的值；

（Ⅱ）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用導數的幾何意義求得a的值；（2）函數有兩個零點，則方程恰有兩個不相等的正實根，即方程恰有兩個不相等的正實根. 研究函數的單調性與極值即可.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，函數的定義域為， ，∴，解得.

（Ⅱ）若函數有兩個零點，則方程恰有兩個不相等的正實根，即方程恰有兩個不相等的正實根.設函數，∴ .

當時， 恒成立，則函數在上是增函數，∴函數最多一個零點，不合題意，舍去；當時，令，解得，令，解得，則函數在內單調遞減，在上單調遞增.易知時， 恒成立，要使函數有2個正零點，則的最小值，即，即，∵，∴，解得，即實數的取值范圍為.