Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，，且與均為正三角形，為的中點，為重心.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析: （Ⅰ）連接與交于,連接.在梯形中,根據兩平行邊的比例,可得的比值,在中,由重心的性質,可得間的比值,兩比值相等,則,再由線線平行去證明線面平行; （Ⅱ）根據所給條件可證,且求出的長.由,可將所求三棱錐的體轉化為求三棱錐體積,再轉化為三棱錐體積,又,只需求即可.

試題解析:（Ⅰ）方法一：連交于,連接.

由梯形，且，知

又為的中點，為的重心，∴

在中，,故//.

又平面, 平面,∴//平面.

方法二：過作交于,過作交于,連接,

為的重心，,,

又為梯形，,,

, ∴

又由所作，得// ，為平行四邊形.

,面

方法三：過作// 交于,連接,

由為正三角形, 為的中點，為重心，

得，

又由梯形，，且，

知,即

∴在中，//，所以平面//平面

又平面，∴面

（Ⅱ） 方法一:由平面平面，與均為正三角形，為的中點

∴，，得平面，且

由（Ⅰ）知//平面，∴

又由梯形，，且，知

又為正三角形，得，∴，

得

∴三棱錐的體積為．

方法二: 由平面平面，與均為正三角形，為的中點

∴，，得平面，且

由，∴

而又為正三角形，得，得．

∴，∴三棱錐的體積為．