Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=4，AB=4 ，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=2．

（1）求證：BD⊥PC；
（2）求證：MN∥平面PDC；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是正三角形，M是AC中點，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC．

（2）證明：在正△ABC中，BM=6，

在△ACD中，∵M為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD，

∠ADC=120°，∴DM=2，

∴ = ，

在Rt△PAB中，PA=4，AB=4 ，PB=8．

∴ = = ，∴MN∥PD，

又MN平面PDC，PD平面平面PDC，

∴MN∥平面PDC．

（3）解：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴AB⊥AD，以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

∴B（4 ，0，0），C（2 ，6，0），D（0，4，0），P（0，0，4），

=（2 ，6，﹣4）， =（4 ，0，﹣4），

由（2）知 =（4 ，﹣4，0）是平面PAC的法向量，

設平面PBC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，即 ，取z=3，得 =（ ），

設二面角A﹣PC﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）導出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．（2）推導出DM⊥AC，AD=CD，DM=2， = ，從而MN∥PD，由此能證明MN∥平面PDC．（3）以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．