Question

【題目】如圖所示，多面體中，四邊形是矩形，已知，，，，，二面角的大小為．

（1）求證：平面；

（2）點在線段上，設，若二面角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）或．

【解析】

（1）要證平面，只需證明平面平面，由面面平行證明線面平行即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解的值．

（1）四邊形是矩形，

，

則平面，

又，

則平面，

又，

平面平面，

平面，

平面．

（2），

二面角的平面角即為，

又，

平面，

平面，

平面平面，

作于點，

平面平面，且平面，

平面．

如圖以為坐標原點，平行于的直線為軸，所在的直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，

則

設，

設平面的法向量為，

，

由

可得平面的法向量為，

根據圖象可知軸平面

平面的一個法向量為，

設二面角為

由圖象可知為銳角

又二面角的正弦值為，

即①

由②

由①②解得：

故：二面角的余弦值為，

根據

則，

解得或，

或．