Question

【題目】已知函數，

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，證明曲線分別在點和點處的切線為不同的直線；

（3）已知過點能作曲線的三條切線，求，所滿足的條件.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減（2）證明見解析；（3）當時，；當時，

【解析】

（1）對求導，根據的符號判斷的單調性；
（2）先分別求出曲線分別在點和點處的切線方程，然后根據條件證明兩者為不同的直線的方程；
（3）先設直線過點與曲線在點處相切，再設直線，根據兩者聯立得到方程，要求此方程有三個不等實根即可．然后構造函數，研究該函數有3個零點的條件即可.

解：（1）因為，

所以

，

所以當時，；當時，.

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）因為，所以，.

又因為，.

所以曲線在點處的切線方程為；

曲線在點處的切線方程為.

因為.所以.所以兩條切線不可能相同.

（3）設直線過點與曲線在點處相切，

設直線，

則

消去，得.

因為過點能作曲線的三條切線，

所以關于的方程有三個不等實根.

設，則有三個零點.

又，

①若，則，

所以在上單調遞增，至多一個零點，

故不符合題意；

②若，則

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以的極大值為，極小值為.

又有三個零點，所以，即，

所以；

③若，則

當時，，單調遞增；

當，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以的極大值為，極小值為.

又有三個零點，所以，即，

所以，

綜上所述，當時，；當時，.