Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c的導數為f'（x），f′（0）＞0，對于任意的實數x恒有f（x）≥0，則

f(-2)

f′(0)

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先求導，由f′（0）＞0可得b＞0，因為對于任意實數x都有f（x）≥0，所以結合二次函數的圖象可得a＞0且b²-4ac≤0，又因為

f(-2)

f′(0)

=

4a-2b+c

b

=

4a+c

b

-2≥

4 ac

b

-2≥2-2=0，利用均值不等式即可求解．

解答：解：∵f'（x）=2ax+b，
∴f'（0）=b＞0；
∵對于任意實數x都有f（x）≥0，
∴a＞0且b²-4ac≤0，
∴b²≤4ac，
∴c＞0；
∴

f(-2)

f′(0)

=

4a-2b+c

b

=

4a+c

b

-2≥

4 ac

b

-2≥2-2=0，
當4a=c時取等號．
故答案為：0．

點評：本題考查了求導公式，二次函數恒成立問題以及均值不等式，綜合性較強．