Question

已知函數的定義域為，部分對應值如下表：

的導函數的圖象如圖所示，

則下列關于函數的命題：
① 函數是周期函數；
② 函數在是減函數；
③ 如果當時，的最大值是2，那么的最大值為4；
④ 當時，函數有4個零點。
其中真命題的個數是 (    )

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

D

解析試題分析：先由導函數的圖象和原函數的關系畫出原函數的大致圖象，再借助與圖象和導函數的圖象，對四個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案. 解：由導函數的圖象和原函數的關系得，原函數的大致圖象如圖：

由圖得：①為假命題，[-1，0]與[4，5]上單調性相反，但原函數圖象不一定對稱．②為真命題．因為在[0，2]上導函數為負，故原函數遞減；③為假命題，當t=5時，也滿足x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2；④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）-a有2個零點，也可以是3個零點．綜上得：真命題只有②．故選 D．
考點：導函數和原函數的單調性
點評：本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減．