Question

【題目】已知等比數列{an}滿足an+1+an=92n﹣1 ， n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{an}的前n項和為Sn ， 若不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，{an}是等比數列，

∵an+1+an=92n﹣1，n∈N*．

可得a1+a2=9，a2+a3=18，

即a1+a1q=9， ，

解得：a1=3，q=2．

∴an= =32n﹣1

（2）解：等比數列的前n項和Sn= =32n﹣3．

不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，即 ＞t對一切n∈N*恒成立．

∵ = 是遞增函數，

∴當n=1時，即 取得最小值為 ．

∴t ．

即實數t的取值范圍（﹣∞， ）

【解析】（1）根據題中的遞推公式，表示a1，a2，a3之間的關系，由等比數列的通項公式解出首項a1，公比q，從而得出an的通項公式，（2）不等式Sn＞tan﹣1，對一切n∈N*恒成立，即 ＞t對一切n∈N*恒成立，根據遞增函數的性質即可得出t的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．