Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC

（1）求證：A，B，C，P四點共圓；
（2）若∠CAD= ，AB=1，求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，

從而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．

又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，

從而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四點共圓；

（2）解：由AC=AD， ，從而△ACD是邊長為1的等邊三角形，

又AH⊥CD，故 ．

由（1）知A，B，C，P四點共圓，又 ，故 ，

從而 ，故△ABC也是邊長為1的等邊三角形，

由PC⊥BC， ，得 ，

知CP，AH為等邊三角形的角平分線，從而P為△ACD的中心．

故此時SABCP=S△ABC+S△ACP= ．

【解析】（1）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，進一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四點共圓；（2）由AC=AD， ，得△ACD是邊長為1的等邊三角形，結合AH⊥CD，得 ．再結合A，B，C，P四點共圓， ，得 ，即△ABC也是邊長為1的等邊三角形，進一步得到P為△ACD的中心．可得SABCP=S△ABC+S△ACP= ．