Question

【題目】如圖，在四棱錐中：底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且，BC=1，M為棱PD上的點。

（Ⅰ）若，求證：平面PAB；

（Ⅱ）求直線BD與平面PAD所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）過點M作MH∥AD，交PA于H，連接BH，證明MH∥BC，CM∥BH，然后證明MC∥平面PAD．（Ⅱ）說明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求平面PAD的一個法向量，則可求出直線BD與平面PAD所成角（Ⅲ）求平面PCD的一個法向量，通過向量的數量積求解二面角的大小．

（Ⅰ）過點M作MH∥AD，交PA于H，連接BH，

∵PMPD，∴ HMAD＝BC．

又MH∥AD，AD∥BC，∴HM∥BC．

∴BCMH為平行四邊形，∴CM∥BH．

又BH平面PAB，CM平面PAB，

∴MC∥平面PAB．

（Ⅱ）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，∴BC⊥AB．

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AB，PB⊥BC，

如圖，以B為原點，BC，BA，BP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

∴C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．

設平面PAD的一個法向量為（x，y，z），

∵（3，3，﹣3），（3,0,0）

∴，

取y＝1得到（0， 1，1），

設直線BD與平面PAD所成角為,

∴sin，

∴直線BD與平面PAD所成角的大小為．

（Ⅲ）設平面PCD的一個法向量為

∴取c=1,得到

,

∴二面角的余弦值為