Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過點（0，-3），且f（4）=f（-2）=5，
（1）求f（x）的解析式
（2）若x∈[0，3]，求函數f（x）對應的值域．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設出f（x）=ax²+bx+c，先由f（x）的圖象經過點（0，-3）得到c=-3，再由已知條件知點（4，5），（-2，5）在圖象上，所以將這兩點坐標帶入f（x）=ax²+bx-3即可求得a=1，b=-2；
（2）對f（x）配方：f（x）=（x-1）²-4，通過此時f（x）解析式即可看出f（x）的最小值為-4，最大值0，所以對應值域為[-4，0]．

解答： 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）；
∵f（x）的圖象經過點（0，-3），所以得到c=-3；
∴f（x）=ax²+bx-3；
由f（4）=f（-2）=5知f（x）的圖象經過點（4，5），（-2，5）；
∴

16a+4b-3=5 4a-2b-3=5

；
解得a=1，b=-2；
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）f（x）=（x-1）²-4；
∴f（1）=-4是f（x）的最小值，f（3）=0是f（x）的最大值；
∴f（x）在[0，3]上的值域為[-4，0]．

點評：考查二次函數的一般形式，圖象上點的坐標和函數解析式的關系，以及配方法求二次函數的最值，從而求出其在閉區間上的值域．