Question

已知直線l：y=kx-1（k∈R）和拋物線y²=4x．
（1）若直線l與拋物線有兩個不同的公共點，求k的取值范圍；
（2）當k=1時，直線l與拋物線相交于A、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）聯立直線方程和橢圓方程，直接由判別式大于0得答案；
（2）聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點橫坐標的和與積，代入弦長公式得答案．

解答： 解：（1）聯立

y=kx-1 y2=4x

，得k²x²-（2k+4）x+1=0．
由△=[-（2k+4）]²-4k²=16k+16＞0，解得：k＞-1；
（2）當k=1時，直線l：y=x-1，
聯立

y=x-1 y2=4x

，得：x²-6x+1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=

1+1

•|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

62-4×1

=8．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了弦長公式的應用，是中檔題．