Question

過點P（1，2）的直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，當△AOB（0為坐標原點）的面積最小時，A、B兩點恰好是曲線R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的頂點．
（1）求曲線R的方程；
（2）過點P的直線交曲線R于C、D（異于A、B）兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,不等式的解法及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可設直線l的方程為，

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由于直線l過點（1，2），代入直線方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值時a，b，即可得到A，B的坐標，進而得到曲線R的方程；
（2）討論直線CD的斜率不存在和存在兩種情況，求出CD的弦長，再由面積公式，比較，即可得到最小值．

解答： 解：由題意可設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵直線l過點（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，∴ab≥8，當且僅當

1

a

=

2

b

，即a=2，b=4是取等號．
此時△AOB的面積取得最小值

1

2

ab=4，
直線l的方程為

x

2

+

y

4

=1．
此時A（2，0），B（0，4），
由于A、B兩點恰好是曲線R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的頂點，
即有m=2，n=16，即有曲線R的方程為：

x

2

+

y2

16

=1；
（2）當直線CD的斜率不存在時，即方程x=1，代入曲線方程，解得，y=±2

2

，
即有CD=4

2

，A，B到直線CD的距離為1，四邊形ACBD面積為

1

2

×2×4

2

=4

2

；
當k存在時，設直線CD：y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，
代入曲線方程，可得，k²x²+[2k（2-k）+8]x+（2-k）²-16=0，
由于有兩個交點，則判別式△=[2k（2-k）+8]²-4k²[（2-k）²-16]＞0，解得，k≠0，
且x₁+x₂=-

2k(2-k)+8

k2

，x₁x₂=

(2-k)2-16

k2

，
則四邊形ACBD的面積為

1

2

×2×

|k+2|

1+k2

×

1+k2

×

( 2k(2-k)+8 -k2 )2- 4(2-k)2-64 k2

=4

2

|k+2|•

k2+2k+2

k2

＞4

2

，
則有四邊形ACBD面積的最小值為4

2

．

點評：本題考查直線方程的點斜式和截距式的運用，基本不等式的運用：求最值，考查四邊形的面積的求法，考查運算能力，屬于中檔題．