Question

已知數列{a_n}，其前n項和為S_n．
（1）若對任意的n∈N，a_2n﹣1，a_2n+1，a_2n組成公差為4的等差數列，且，求n的值；
（2）若數列{}是公比為q（q≠﹣1）的等比數列，a為常數，求證：數列{a_n}為等比數列的充要條件為

Answer 1

（1）1005
（2）由+a=（a+1）q^n﹣1，可求得S_n=（a+1）q^n﹣1a_n﹣aa_n，S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1﹣aa_n+1，兩式相減得（a+1）（1﹣qⁿ）a_n+1=[a﹣（a+1）q^n﹣1]a_n，若q=1+，可證得數列{a_n}為等比數列，（充分性）；若數列{a_n}為等比數列，可證得q=1+，（必要性）．

解析試題分析：（1）因為a_2n﹣1，a_2n+1，a_2n組成公差為4的等差數列，
所以a_2n+1﹣a_2n﹣1=4，a_2n=a_2n﹣1+8（n∈N^*），…（2分）
所以a₁，a₃，a₅，…a_2n﹣1，a_2n+1是公差為4的等差數列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n﹣1+8n，…（4分）
又因為a₁=1，
所以S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n﹣1）+8n
=2[n+×4]+8n=4n²+6n=2n（2n+3），
所以=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）
（2）因為+a=（a+1）q^n﹣1，所以S_n=（a+1）q^n﹣1a_n﹣aa_n，①
所以S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1﹣aa_n+1，②
②﹣①，得（a+1）（1﹣qⁿ）a_n+1=[a﹣（a+1）q^n﹣1]a_n，③…（8分）
（ⅰ）充分性：因為q=1+，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得
q（1﹣qⁿ）a_n+1=（1﹣qⁿ）a_n，因為q≠﹣1，q≠1，
所以=，n∈N^*，所以{a_n}為等比數列，…（12分）
（ⅱ）必要性：設{a_n}的公比為q₀，則由③得（a+1）（1﹣qⁿ）q₀=a﹣（a+1）q^n﹣1，
整理得（a+1）q₀﹣a=（a+1）（q₀﹣）qⁿ，…（14分）
此式為關于n的恒等式，若q=1，則左邊=0，右邊=﹣1，矛盾；
若q≠±1，當且僅當時成立，所以q=1+．
由（ⅰ）、（ⅱ）可知，數列{a_n}為等比數列的充要條件為q=1+．…（16分）
考點：等差數列與等比數列的綜合
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查等差數列的求和與等比數列的分析確定，考查充分必要條件的推理論證，屬于難題．