Question

若a，b∈R，且4≤a²+b²≤9，則a²-ab+b²的范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：換元法,不等式的解法及應用

分析：根據題意，設a=rcosθ，b=rsinθ，2≤r≤3，利用參數法求出a²-ab+b²的取值范圍．

解答： 解：∵a，b∈R，且4≤a²+b²≤9；
∴設a=rcosθ，b=rsinθ，且2≤r≤3，
∴s=a²-ab+b²=r²cos²θ-r²sinθcosθ+r²sin²θ
=r²（1-sinθcosθ）=r²（1-

1

2

sin2θ），
由三角函數的圖象與性質，得；
當sin2θ取最大值1且r取最小值2時，s取得最小值2，
當sin2θ取最小值-1且r取最大值3時，s取得最大值

27

2

；
綜上，a²-ab+b²的范圍是[2，

27

2

]．
故答案為：[2，

27

2

]．

點評：本題考查了不等式的應用問題，解題時應利用換元法，把問題轉化為求三角函數的取值范圍的應用問題，是綜合題目．