【題目】已知
為坐標原點，橢圓
： 
的左焦點是
，離心率為
，且
上任意一點
到
的最短距離為
.
（1）求
的方程；
（2）過點
的直線
（不過原點）與
交于兩點
、
， 
為線段
的中點.
（i）證明：直線
與
的斜率乘積為定值；
（ii）求
面積的最大值及此時
的斜率.
【答案】（1）
；（2）（i）見解析；（ii）
面積的最大值是
，此時
的斜率為
.
【解析】試題分析：（1）由題設可以得到關于
的方程組為
，從而
，故
，所以橢圓
的方程為
.（2）設直線
為： 
， 
， 
， 
，聯立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到
，利用韋達定理得到
，故
，從而
為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得
，令
，從而
，最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為
且此時
也就是
.
解析：（1）由題意得
，解得
，∴
， 
，∴橢圓
的方程為
.
（2）（i）設直線
為： 
， 
， 
， 
，由題意得
，
∴
，∴
，即
，由韋達定理得： 
， 
，∴
， 
，∴
，∴
，∴直線
與
的斜率乘積為定值.
（ii）由（i）可知： 
，又點
到直線
的距離
，
∴
的面積
，令
，則
，∴
，當且僅當
時等號成立，此時
，且滿足
，∴
面積的最大值是
，此時
的斜率為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數(x)=xlnx,g(x)=ax3-
.
(Ⅰ)求函數(x)的單調遞增區間和最小值；
(Ⅱ)若函數y= (x)與函數y =g(x)的圖象在交點處存在公共切線，求實數a的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
、
為常數）.若函數
與
的圖象在
處相切，
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）設函數
，若
在
上的最小值為
，求實數
的值;
（Ⅲ）設函數
，若
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
： 
的左、右焦點分別為
，上頂點為
，過點
與
垂直的直線交
軸負半軸于點
，且
.
（Ⅰ）求橢圓
的離心率；
（Ⅱ）若過
、
、
三點的圓恰好與直線
： 
相切，求橢圓
的方程；
（III）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點
作斜率為
的直線
與橢圓
交于
、
兩點，在
軸上是否存在點
使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍，如果不存在，說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布，發現其投資者年齡大多集中在區間[20,50]歲之間，對區間[20,50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習慣調查，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
組數 | 分組 | 人數(單位：人) |
第一組 | [20,25) | 2 |
第二組 | [25,30) | a |
第三組 | [30,35) | 5 |
第四組 | [35,40) | 4 |
第五組 | [40,45) | 3 |
第六組 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖；
(Ⅱ)在統計表的第五與第六組的5人中，隨機選取2人，求這2人的年齡都小于45歲的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設 
為橢圓 
上任一點，
，
為橢圓的焦點，
，離心率為 
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線 
經過點 
，且與橢圓交于 ，
兩點，若直線 
，
，
的斜率依次成等比數列，求直線 
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，經研究發現鮭魚的游速可以表示為函數y=
log3（
），單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數．
（1）當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？
（2）計算一條魚靜止時耗氧量的單位數。
（3）某條鮭魚想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的單位數是原來的多少倍？
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