Question

【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線： 相切，求橢圓的方程；

（III）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）設，由，所以，由于，即為的中點，故，即，于是，于是的外接圓圓心為，半徑，該圓與直線相切，則，即可得出值，從而可求橢圓的方程；

（2）由（1）可知，設，聯立方程組，整理得，寫出韋達定理，由于菱形的對角線垂直，故, 即，即，由已知條件知且，所以，即可求出的取值范圍.

試題解析：

（1）設，由，

知，因為，所以，

由于，即為的中點，

故，所以，即，

于是，于是的外接圓圓心為，半徑，

該圓與直線相切，則，解得，

所以，所求橢圓的方程為.

（2）由（1）可知，

設，聯立方程組，整理得，

設，則，

，

由于菱形的對角線垂直，故,

故，即，

即，

由已知條件知且，

所以，所以，

故存在滿足題意的點，且的取值范圍是，

當直線的斜率不存在時，不合題意.