Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線，被橢圓截得的弦長；

（3）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程：（2）（3）見解析，

【解析】

（1）根據橢圓短軸長公式和離心率公式進行求解即可；

（2）求出過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程，將與橢圓方程聯立，結合橢圓弦長公式和一元二次方程根與系數關系進行求解即可；

（3）根據以為直徑的圓過橢圓的右頂點，可以得到向量的數量積為零，將直線方程與橢圓方程聯立，利用一元二次方程根與系數進行求解即可.

（1）因為橢圓：的短軸長為，離心率為，

所以有且，而，解得，因此橢圓的標準方程為：；

（2）因為，所以橢圓的右焦點坐標為，因此過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程是，

因此有因此設交點坐標分別為，因此有，因此有

,

所以直線被橢圓截得的弦長為；

（3）設，由題意可知，設橢圓右頂點的坐標為：，因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以有

，

即.

直線與橢圓的方程聯立，得：

因此，

因此由可得：，化簡得：

，或

當時，直線方程為該直線恒過點這與已知矛盾，故舍去；

當時，直線方程為該直線恒過點，綜上所述：直線過定點.