Question

已知函數f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）設g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[

1

e

，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

f（x）的定義域為x＞0
（I）將a=1代入f（x）得f（x）=）=x²-3x+lnx
所以f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1
所以函數的單調增區間(0，

1

2

)，(1，+∞)
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

令f′（x）=0得x=

1

2

(舍)或x=a
當a≤1時，在區間[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在區間[1，e]上的單調遞增
所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；
當1＜a＜e時，f（x）在[1，a]單調遞減，在[a，e]上單調遞增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
當a≥e時，f（x）在[1，e]上單調遞減
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
（III）令x²-（a+2）x+alnx≥0在[

1

e

，e]上有解．
即x²-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[

1

e

，e]上為正數
∴問題轉化為a≤

x2-2x

x-lnx

在[

1

e

，e]上有解
令h（x）=

x2-2x

x-lnx

，下求此函數在[

1

e

，e]的最大值
由于當x＜2時，h（x）為負，下研究h（x）在（2，e）上的單調性，
由于h′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

＞0成立，所以h（x）=

x2-2x

x-lnx

在（2，e）上是增函數，又h(e)=

e2-2e

e-1

＞0
所以h(x)max=

e2-2e

e-1

故實數a的取值范圍為a≤

e2-2e

e-1