Question

已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）求函數g（x）=f（x）-ax²-x的單調區間及最大值；
（2）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）求證：(1+

1

22

)(1+

1

3^

)(1+

1

42

)(1+

1

52

)…(1+

1

n2

)＜e
參考導數公式：(ln(x+1))′=

1

x+1

．

Answer 1

（1）因為g（x）=f（x）-ax²-x=ax²+ln（x+1）-ax²-x=ln（x+1）-x（x＞-1），
所以g′(x)=

1

x+1

-1=-

x

x+1

(x＞-1)，
當-1＜x＜0時，g^′（x）＞0，當x＞0時，g^′（x）＜0，
故函數g（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
g（x）_max=g（0）=ln1=0．
（2）因為當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
①當a=0時，g′(x)=

-x

x+1

，當x＞0時，g^′（x）＜0，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
②當a＞0時，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
1°若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時，在區間（0，+∞）上，g^′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
g（x）在[0，+∞）上無最大值，此時不滿足條件；
2°若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時，函數g（x）在(0，

1

2a-1

)上單調遞減，在區間(

1

2a-1

，+∞)上單調遞增，同樣g（x）在[0，+∞）上無最大值，不滿足條件．
③當a＜0時，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g^′（x）＜0，故函數g（x）在[0，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，0]．
（3）由（1）知ln（x+1）≤x，令x=

1

n2

，所以ln(1+

1

n2

)≤

1

n2

=

1

n•n

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
所以ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1，
所以ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜1=lne，
所以(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．