Question

【題目】如圖，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2， ，CF=6，∠CFE=45°．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）在線段CF上求一點G，使銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中BC∥AD，
AD平面ADE
BC平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
同理CF∥平面ADE，
又∵BC∩CF=C，
∴平面BCF∥平面ADE，
而BF平面BCF，
∴BF∥平面ADE．
（Ⅱ）∵CD⊥AD，CD⊥DE
∴∠ADE即為二面角A﹣CD﹣F的平面角，
∴∠ADE=60°
又∵AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，
又∵CD平面CDEF
∴平面CDEF⊥平面ADE，
作AO⊥DE于O，則AO⊥平面CDEF．
連結CE，
在△CEF中由余弦定理
，
即
∴ ，
易求得，∠ECF=45°，CD=DE=3，OD=1，OE=2．
以O為原點，以平行于DC的直線為x軸，以直線DE為y軸，建立如圖空間直角坐標系O﹣xyz，
則 ，C（3，﹣1，0），E（0，2，0），F（3，5，0），
設G（3，t，0），﹣1≤t≤5，
則 ，
，
設平面BEG的一個法向量為 ，
則由 ，
得 ，
取 ，
得 ．
平面DEG的一個法向量 ，
∴ ．
為使銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值為 ，
只需 ，
解得 ，
此時 ．
∴G（3， ，0）．
即所求的點G為線段CF的靠近C端的四分之一分點．

【解析】（1）利用平面與平面平行的判定定理證明平面BCF∥平面ADE，從而得到BF∥平面ADE．（Ⅱ）利用直線與平面，平面與平面垂直的判定定理證明平面CDEF⊥平面ADE，根據平面與平面垂直的性質定理可知，作AO⊥DE于O，則AO⊥平面CDEF．建立如圖所示空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用平面法向量以及銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值確定G點的坐標，從而確定點G的位置．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．