Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設(shè)D，E分別為PA，AC中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點 D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為點E是AC中點，點D為PA的中點，所以DE∥PC．
又因為DE面PBC，PC面PBC，
所以DE∥平面PBC．
（Ⅱ）證明：因為平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC，
因為BC平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因為AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥面PAB．
（Ⅲ）解：當(dāng)點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
取AB中點F，連EF，連DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因為點E是AC中點，點F為AB的中點，
所以EF∥BC．
又因為EF平面PBC，BC平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因為DE∩EF=E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
故當(dāng)點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．

【解析】（Ⅰ）證明以DE∥平面PBC，只需證明DE∥PC；（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB，根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）當(dāng)點F是線段AB中點時，證明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面平行的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行才能正確解答此題．