Question

（08年杭州學軍中學）  已知橢圓C：(.

（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；

（2）在（1）的條件下，設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍;

（3）如圖，過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點，設原點到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.

 

 

Answer 1

解析：（1） 

（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：

由得.

,（1）

又

由 ∴

所以

                       

（2）

由（1）（2）得：。

（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等。

當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，

當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得(1)，同理(2)

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡得，

，即。

綜上，d=1時a,b滿足條件