Question

當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P的拋物線的標準方程是（　　）

• A、y²=-

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• B、y²=

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• C、y²=

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y
• D、y²=-

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y

Answer 1

分析：直線過定點，說明直線（a-1）x-y+2a+1=0是直線系方程，先求出定點P，再根據拋物線的標準方程，求過點P的拋物線的標準方程．

解答：解：當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則直線可化為（x+2）a+（-x-y+1）=0，
對于a為任意實數時，此式恒成立有

x+2=0 -x-y+1

=0得

x=-2 y=3

，依題意拋物線為 y²=-2px和x²=2py
當y²=-2px時得9=4p，所以p=

9

4

，此時拋物線方程為 y²=-

9

2

x；
當x²=2py時，4=6p，所以p=

2

3

，此時拋物線方程為 x²=

4

3

y．
則過點P的拋物線的標準方程是：y²=-

9

2

x 和x²=

4

3

y．
故選A．

點評：本題考查直線系方程和拋物線的標準方程，直線系過定點的求法要當心，拋物線的四種形式不可混淆．