Question

【題目】已知函數.

（1）求的圖像在點處的切線方程；

（2）求在區間上的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求出,再求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）利用導數研究函數的單調性可得當時， 遞增；當時遞減；可得所以， .

試題解析：（1），

所以

則.又，所以的圖象在點處的切線方程為.

（2）由（1）知.

因為與都是區間上的增函數，所以是上的增函數.

又，所以當時， ，即，此時遞增；

當時，即，此時遞減；

又， ， .

所以， .

所以在區間的取值范圍為

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與最值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.